Проекция вектора на ось рисунок

Предлагаю решение задач из ДВИ МГУ 2017 года по математике, вариант 1.


Задача 1. Какое число больше: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ или 3?

Переформулируем задачу, возведя все в квадрат. Что больше:

Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ или 9?

Приведем левую часть к общему знаменателю:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Таким образом, число слева больше: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

 

Задача 2. Известно, что Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. Найдите Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

Возведем в квадрат первую сумму:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Подставляем 4 вместо суммы произведений:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Ответ: 17.

 

Задача 3. Решите уравнение:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Перепишем:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Преобразуем разность синусов:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Левую часть представим как синус двойного аргумента:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Переносим влево:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Выносим за скобку общий множитель:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Тогда либо

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Либо

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Решаем (1)

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Решаем (2): преобразуем разность синусов.

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Либо Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, либо Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

Тогда Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ

Или

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Последнее решение попадает полностью в предыдущую серию, следовательно, ответ: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

 

Задача 4. Решите неравенство:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Вынесем степень 4 из подлогарифмического выражения. При этом не нужно ставить знак модуля, поскольку по ОДЗ Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Разобьем последнее слагаемое таким образом:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Вынесем общий множитель:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Далее применим метод интервалов. Нам потребуются точки, в которых выражение слева меняет знак. Для их определения приравняем к нулю оба множителя по очереди.

Первый:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Отсюда

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Или

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Второй:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Отсюда

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Или

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Справа от 1 и слева от найденных точек располагается точка Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. Для определения знаков интервалов подставим ее в исходное неравенство:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Первые два слагаемых – квадраты, они положительны. Рассмотрим третье.

Выражение Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ отрицательно, выражение Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ – положительно. Их произведение отрицательно, но перед произведением тоже минус, поэтому сумма всех трех – положительна.

Расставляем знаки, помня, что 1 – корень четной кратности:

ДВИ 2017

К задаче 4

Ответ: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

Задача 5. Через вершины Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ и Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ треугольника Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ проведена окружность, касающаяся прямых Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ и Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. На этой окружности выбрана точка Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ внутри треугольника, лежащая на расстоянии Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ от прямой Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ и на расстоянии Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ от прямой Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. Найдите угол Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, если известно, что Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

Введем обозначения. Пусть Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, а угол Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. Касание прямых Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ и Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ с окружностью произойдет в точках Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ и Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ соответственно. Отметим данные расстояния: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. Проведем радиусы окружности в точки касания, тогда Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, как радиус, проведенный в точку касания.

ДВИ 2017

К задаче 5

Рассмотрим рисунок. Угол Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, так как угол Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ – угол между касательной и хордой, следовательно, он равен половине заключенной в этом угле дуги. Треугольник Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ  – равнобедренный, он образован радиусами окружности. Следовательно, если мы проведем высоту Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ в этом треугольнике, то она также будет медианой и биссектрисой. Тогда Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

В треугольнике Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Тогда Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

Для треугольника Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ составим теорему синусов:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Следовательно,

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

А отрезок Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ тогда

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Проведем перпендикуляр к отрезку Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ через точку Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. Cледовательно,

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

В треугольнике Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, прямоугольном, запишем теорему синусов:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Или, так как Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ,

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Перепишем пропорцию иначе:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Откуда Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

Ответ: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

Задача 6. Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ нужно добраться вниз по реке до пункта Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался самостоятельно доехать до пункта Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. Однако, промчавшись 8 км, Василий заметил на берегу машущего ему рукой Григория, который просил его по старой дружбе довезти его до пункта Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. И хоть пункт Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ Василий уже проехал, он согласился. По пути в пункт Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Василия, откуда те крикнули , что им до пункта Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ осталась треть пути и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в пункт Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Василий немедленно развернулся и помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ и Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, если известно, что оба катера пришли в пункт Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не задерживался.
Решим задачу графически.

ДВИ 2017

К задаче 6

Скорость катера Василия больше, график его движения – синяя ломаная. Сначала Василий движется по реке вниз, а после встречи с Григорием – против течения, поэтому наклон ломаной меняется: скорость уменьшилась. Но после разворота в пункте Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ Василий вновь спускается по течению, скорость такая же, как в начале: отрезки Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ и Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ параллельны. Таким образом, треугольники Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ и Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ подобны по двум углам (треугольники прямоугольные, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ как накрестлежащие). Следовательно,

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Рассмотрим треугольники Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ и Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, так как скорости катеров постоянны, и разность скоростей тоже, следовательно, постоянна:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Таким образом, треугольники Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ и Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ подобны, равенство двух углов мы доказали, два других угла – вертикальные). Из подобия треугольников следует, что

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Треугольник Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ подобен треугольнику Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ ( Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ как накрестлежащие), откуда

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Или

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Из условия следует, что длина отрезка Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ км. Также известно, что Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

Поэтому

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Ответ: 4 км.

Задача 7. Из вершины Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ на плоскость основания Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ пирамиды Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ опущена высота Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ равны соответственно Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, и что все три плоских угла при вершине Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ прямые.

За помощь в решении этой задачи благодарю Гилемханова Радифа Галиевича.

ДВИ МГУ 2017

К задаче 7

Данная пирамида – кусок прямоугольного параллелепипеда. Обозначим ребра Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.  Обозначим также угол наклона грани Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ к основанию Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, угол наклона грани Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ к основанию Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, а угол наклона грани Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ к основанию – Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. Тогда, если площадь основания Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, то Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭПодготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭПодготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

Следовательно, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

Но, с другой стороны, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭПодготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭПодготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

Тогда

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Также можно записать, что

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Объем пирамиды равен Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, возведем в квадрат:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

С учетом того, что Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ,

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Ответ: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

Задача 8. Решите систему уравнений:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Возведем оба уравнения в квадраты:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Вычтем уравнения:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Применяем формулу

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Тогда перепишем:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Или

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Подставим это в систему:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

 

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Домножим на Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ для удобства восприятия:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Умножим второе уравнение на 2, чтобы уравнять коэффициенты:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Складываем уравнения:

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Тогда

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

    Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Ответ: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ

 



Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

Решебник к сборнику задач по физике для 7-9 классов Обои для телефона мандала

ВВЕДЕНИНФОРМАЦИОННО -АНАЛИТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ДВИ в МГУ 2017, математика, вариант 1 Проекция точки на прямую Атом водорода Википедия Примеры решения задач «Корзина с еловыми шишками Паустовский: краткое